Grupo,

Como não estou conseguindo postar as notas de vocês no site, peço que me enviem um email cada para que eu responda com as notas parciais até agora.
abraço

practica de laboratorio mecanica de fluidos

Este vídeo mostra experimentos que comprovam alguns conceitos de mecânica dos fluidos abordados em todo o semestre.

Problemas envolvendo Análise Dimensional

No escoamento incompressível dependente do tempo oscilatório com período τ devido a um corpo imerso em um fluído, quais são os parâmetros que caracterizam o escoamento?

Para o escoamento incompressível, apenas o número de Reynolds aparece como coeficiente adimensional. Se resolvermos para um período adimensional τ* definido por τV0/L, podemos escrever:

O adimensional τV0/L é conhecido como número de Strouhal.

Nos problemas que envolvem tensão superficial TS, quais são os parâmetros que entram?

Figura1

As equações do movimento são as mesmas que no escoamento sem efeitos da tensão superficial, mas as condições de contorno são diferentes. Na interface líquido-ar, a força de pressão deve ser compensada pela tensão superficial, e não é necessariamente nula, como o seria na superfície livre sem tensão superficial.Uma diferença de pressão finita pode existir através da interface (se tivermos curvatura) e ser compensada pela tensão superficial. Considere o caso bidimensional mostrado na Fig. 1. Por considerações de equilíbrio:onde R é o raio de curvatura da superfície e sen Θ≈Θ, para Θ pequeno. Então, podemos escrever
com a introdução da pressão adimensional e do raio de curvatura nas formas p*=p/ρ0V0^2 e R*= R/L. Definimos uma tensão superficial adimensional TS* por
de modo que TS*=pR. O número de Weber é definido porNum líquido com pouca profundidade, pequenas perturbações superficiais propagam-se na forma mostrada na Fig. 2. De que parâmetros depende a velocidade da onda superficial infinitesimal? Quais os grupos adimensionais relevantes?
Figura 2

Considere a onda mostrada na figura. A velocidade a pode depender da profundidade h e da gravidade g. O único grupo adimensional decorrente é
Assim, como o número de variáveis é três e o de dimensões fundamentais é dois (comprimento e tempo), temos apenas um grupo e, desta forma, dizemos que ele é constante.

Quando se fecha repentinamente um tubo com escoamento de água, estabelece-se um golpe de aríete. Tais ondas podem gerar enormes pressões que causam avaria no tubo. Usando a análise dimensional, achar a máxima pressão gerada pelo fenômeno.

Tomamos como parâmetros relevantes: a pressão máxima, a massa específica ρ, a velocidade inicial U0 e o módulo de elasticidade β (porque a onda é de compressão). Existem dois grupos adimensionais possíveis. Podemos considerá-los como pmáx/β e U0²ρ/β. Desta forma é possível escrever:Como no problema anterior, é possível dizer algo sobre a velocidade de propagação dessa onda de golpe de aríete. A velocidade da onda a depende da massa específica ρ e do modulo β (se for possível arbitrá-lo corretamente), de modo que o único grupo a ser formado, a²ρ/β, deva ser constante. A velocidade real éNa aerodinâmica subsônica, como verificamos a sustentação em um modelo de aerofólio?

A sustentação em um corpo pode ser achada pela integração da componente apropriada da força de pressão normal à velocidade da corrente livre ao longo da superfície considerada. A pressão é achada da equação do movimento. No escoamento permanente, a pressão adimensional depende da localização do corpo, r*, e do número de Reynolds; entretanto, usualmente a dependência do número de Reynolds é pequena, e se o escoamento é aerodinâmico, como em um aerofólio verdadeiro, tal dependência pode ser desprezada. Para dada forma geométrica, a pressão pode ser integrada ao longo do corpo para eliminar a dependência de r* no cálculo da sustentação L. Todavia, mesmo para uma dada forma geométrica, o ângulo de ataque Θ (o ângulo relativo de aproximação da corrente fluída) afeta a sustentação.

Figura 3

Com referência a Figura 3, segue que:onde ŷ é um vetor unitário (versor) na direção y, e
onde A0 é uma área característica do aerofólio e A*=A/A0. Desta forma, a sustentação seria
onde CL é conhecido por coeficiente de sustentação. O fator 2 aparece por convenção e ρV0²/2 pode ser interpretada como a pressão dinâmica. Nas experiências, o coeficiente de sustentação é determinado em função de Θ para certa forma de aerofólio.

Na aerodinâmica subsônica, como reproduzir um modelo a resistência?

A resistência, também chamada por alguns de arrasto, decorre principalmente do atrito, embora exista ocorrência de uma esteira e a baixa pressão na onda dominará o atrito (resistência viscosa devida à camada limite). No escoamento ao longo de um aerofólio existe também uma resistência induzida que aparece devido a mudança no ângulo de ataque. A sustentação, que deve ser perpendicular à corrente local efetiva de fluido, tem uma componente na direção da corrente livre (isto é, oposta à direção do movimento do corpo). A resistência induzida D pode ser formulada em termos de uma integral de pressão, e podemos escrever

onde CD(Θ) é o coeficiente de resistência. Se considerarmos corpos não aerodinâmicos, em que a maior porção da resistência decorra da viscosidade e da onda de baixa pressão, o escoamento é altamente sensível ao número de Reynolds, e podemos escrever que a resistência de atrito integrado e a de onda são funções do número de Reynolds (para certa forma geométrica). Naturalmente, poderíamos ter uma dependência do ângulo de ataque, mas admitimos agora que este ângulo é mantido constante e o número de Reynolds varia. O ângulo de ataque não é uma variável útil, porque o corpo não sendo aerodinâmico, não tem interesse. Um ângulo de ataque diferente é considerado como nova geometria. Então, a resistência na forma adimensional é

de forma que mantemos o conceito de coeficiente de resistência, mas dizemos que ele pode não ser uma constante para determinada geometria, mas depende de NR. No caso geral, podemos dizer, para qualquer aerofólio com separação na camada limite ou não que CD=f(NR, Θ).

Em um tubo, a queda de pressão depende do atrito na parede, que por sua vez depende de ser o escoamento laminar ou turbulento. Se laminar, o atrito na parede depende da viscosidade. Se turbulento, depende do número de Reynolds e da rugosidade da parede. Como poderíamos reproduzir em modelo tal queda de pressão?

O cálculo da queda de pressão, Δp, em um tubo de comprimento L, baseia-se na equação do movimento. Assim, a queda de pressão por unidade de comprimento do tubo (adimensional) deve depender do número de Reynolds e da rugosidade, que pode ser representada pela relação entre a altura média dos grãos superficiais e o diâmetro ε/D. Desta forma,

se definirmos o comprimento adimensional L * por L/D, onde D é o diâmetro do tubo e h é função de NR e da rugosidade do tubo. Em termos da pressão p,

Agora a perda de carga em metros é HL, e podemos escrever
eA função (NR, rugosidade) é escrita como f/2, onde f é o fator de atrito, um número adimensional que depende de Reynolds e da rugosidade no escoamento turbulento. Finalmente,

Dados experimentais para fatores de atrito são de importância vital nos problemas de escoamento em tubos.

Um aerofólio de área superficial de 1 sq ft (pé quadrado) é testado para a sustentação L em um túnel de vento. A um ângulo de ataque de 5° com o ar padrão de massa específica de 0,0024 slugs/cu ft (slugs por pé cúbico), a uma velocidade de 100 ft/s, a sustentação é medida em 7,0 lbf. Qual é o coeficiente de sustentação CL? Para uma asa de protótipo, de área igual a 100 sq ft, qual é a sustentação LP a uma velocidade de ar de 100 mph no mesmo ângulo de ataque?

CL pode ser calculado dos dados do modelo.

Então, para o protótipo, CL é o mesmo e a sustentação é
Discutir o ensaio em modelo de uma bomba ou ventilador para um fluido incompressível.

A forma é essencialmente a mesma para um fluxo axial ou centrífugo. Os parâmetros importantes que descrevem o desempenho de uma máquina são a potência P, a altura de carga H e a eficiência η. Para um certo projeto, o desempenho é caracterizado pelas seguintes variáveis: ρ, massa específica do fluido; ω, velocidade angular do rotor; D, diâmetro médio do rotor; μ, viscosidade do fluído; Q, vazão. P, gH e η não são independentes, mas sim funções das variáveis acima. É conveniente introduzir a altura de carga como gH e não H, pois o primeiro produto representa o trabalho de eixo por unidade de massa do fluido e independe de g. Assim, escrevemos

P= f1 (ρ, ω, D, Q, μ)
η= f2 (ρ, ω, D, Q, μ)
gH= f3 (ρ, ω, D, Q, μ)

Aplicamos o teorema de Buckingham a cada equação e obtemos um conjunto conveniente de π's

É importante observar que os grupos nos primeiros membros não são independentes. Dos dados experimentais sabe-se que a viscosidade e, conseqüentemente, ρωD²/μ não importa muito na determinação do desempenho de uma bomba ou ventilador. Desta forma, pode-se desprezá-la, resultando para uma determinada configuração de projeto,Os dados experimentais são usualmente apresentados na forma gráfica, com os adimensionais dos primeiros membros em função de Q/ωD³ de determinada máquina.

Fonte: HUGHES, Wiliam F.; BRIGHTON, John A. Dinâmica dos fluídos. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1974.

Análise Dimensional Semelhança

Análise Dimensional

Análise dimensional é um meio para simplificação de um problema físico empregando a homogeneidade dimensional para reduzir o número das variáveis de análise. A análise dimensional é particularmente útil para:

- Apresentar e interpretar dados experimentais;

- Resolver problemas difíceis de atacar com solução analítica;

- Estabelecer a importância relativa de um determinado fenômeno;

- Modelagem física.

Semelhança

Problemas em Engenharia (principalmente na área de Térmica e Fluidos) dificilmente são resolvidos aplicando-se exclusivamente análise teórica. Portanto, utilizam-se com freqüência estudos experimentais. Métodos analíticos nem sempre são satisfatórios:

- Limitações devido às simplificações necessárias para resolver as equações;

- Análise detalhada com grande complexidade/custo.

Muito do trabalho experimental é feito com o próprio equipamento ou com réplicas exatas. Porém, a maior parte das aplicações em Engenharia é realizada utilizando-se modelos em escala. No entanto, sem planejamento e organização, os procedimentos experimentais podem:

- Consumir muito tempo;

- Não ter objetividade;

- Custarem muito.

Utilização de modelos em escala

- Vantagens econômicas (tempo e dinheiro);

- Podem-se utilizar fluidos diferentes dos fluidos de trabalho;

- Os resultados podem ser extrapolados;

- Podem-se utilizar modelos reduzidos ou expandidos (dependendo da conveniência);

As comparações são realizadas entre o Protótipo (avião, navio) em escala real e o Modelo em escala reduzida ou aumentada.

Comparação entre Protótipo e Modelo

Para ser possível esta comparação e conseqüente a utilização dos resultados do modelo ao protótipo é indispensável que os conjuntos de condições sejam fisicamente semelhantes. O termo semelhança física é um termo geral que envolve uma variedade de tipos de semelhança.

Semelhança Geométrica

Semelhança de forma. A propriedade característica dos sistemas geometricamente semelhantes (modelo e protótipo) é que a razão entre qualquer comprimento no modelo e o seu comprimento correspondente no protótipo é uma constante. Esta razão é conhecida como fator de escala. A semelhança geométrica é o requisito mais óbvio para que um modelo possa corresponder a um dado protótipo.

Nem sempre é fácil obter a semelhança geométrica perfeita. Deve-se lembrar que não só a forma global do modelo tem que ser semelhante à do protótipo, como também a rugosidade das superfícies deveria ser geometricamente semelhantes.

Semelhança Geométrica

Muitas vezes, a rugosidade de um modelo em escala reduzida não pode ser obtida de acordo com o fator de escala – problema de construção/de material/de acabamento das superfícies do modelo.

Exemplo: Estudo do movimento dos sedimentos nos rios. Um modelo em escala pode exigir o uso de um pó excessivamente fino para representar o sedimento.

No caso de protótipos muito grandes, o recurso de modelos distorcidos (fator de escala diferentes entre os comprimentos na horizontal e na vertical) é inevitável.



Semelhança Cinemática

Semelhança cinemática é a semelhança do movimento, o que implica necessariamente semelhança de comprimentos (semelhança geométrica) e semelhança de intervalos de tempo.

Exemplo de semelhança cinemática: Planetário. O firmamento é reproduzido de acordo com um certo fator de escala de comprimento e, ao copiar os movimentos dos planetas, utiliza-se uma razão fixa de intervalos de tempo e, portanto, de velocidades e acelerações.

Escoamentos que possuem semelhança cinemática, os padrões formados pelas linhas de corrente são geometricamente semelhantes.

Uma vez que as fronteiras do escoamento correspondem a linhas de correntes, só é possível obter escoamentos semelhantes, do ponto de vista cinemático, em fronteiras geometricamente semelhantes.

No entanto, esta condição não é suficiente para assegurar a semelhança geométrica dos padrões das linhas de corrente a uma distância significativa das fronteiras.

A semelhança geométrica nas fronteiras é uma condição necessária, mas não suficiente para haver semelhança cinemática dos escoamentos.

Semelhança Dinâmica

Semelhança Dinâmica é a semelhança das forças. Dois sistemas são dinamicamente semelhantes quando os valores absolutos das forças, em pontos equivalentes dos dois sistemas, estão numa razão fixa.

As forças que determinam o comportamento dos fluidos têm várias origens:

Grupos Adimensionais

 

Semelhança Geométrica:

- das formas;

- das linhas de corrente;

- das linhas de força.

Determinação de Grupos Adimensionais em um Problema Físico Teorema dos Pi de Buckingham

Dado um problema físico no qual um parâmetro de interesse é uma função de n-1 parâmetros independentes, é possível escrever a seguinte relação:

O Teorema dos Pi de Buckingham declara que dada uma relação entre n parâmetros da forma da Eq.(2), então, os n parâmetros podem ser agrupados em n-m razões independentes adimensionais, ou parâmetros Π, os quais podem ser expressos como segue:

Determinação dos Grupos Pi

Geralmente, a determinação dos grupos adimensionais segue um roteiro descrito a seguir:

PASSO 1: Liste todos os parâmetros envolvidos. Define-se n como o número de parâmetros envolvidos;

PASSO 2: Expresse estes parâmetros em termos das dimensões primárias. Define-se r como o número de dimensões primárias presentes no problema;

PASSO 3: Selecione da lista um número r de parâmetros que, em conjunto, incluam todas as dimensões primárias. Tome cuidado para que estes parâmetros não sejam linearmente dependentes. Existe a possibilidade de não ser possível selecionar r parâmetros independentes. Neste caso, o número de parâmetros independentes, m, deve ser considerado ao invés de r;

PASSO 4: Estabeleça equações dimensionais combinando os parâmetros selecionados no passo anterior com cada um dos outros parâmetros para formar grupos adimensionais. Geralmente, o número de equações dimensionais é igual ao número de parâmetros menos o número de dimensões primárias presentes no problema (n-r), a não ser que r ≠ m. Neste caso, o número de equações dimensionais deverá ser (n-m);

PASSO 5: Resolva as equações para obter os grupos adimensionais;

PASSO 6: Verifique se cada grupo obtido é adimensional.

Bibliografia

Barbosa, Marcos Pinotti; Análise Dimensional Semelhança, Mecânica dos Fluidos. UFMG.

 

Estudo das Bombas: Aplicação da Análise Dimensional e da Teoria da Semelhança

Na Universidade de São Paulo - Escola Politécnica, foi realizado um Estudo das Bombas: Aplicação da Análise Dimensional e da Teoria da Semelhança.

No qual o principal objetivo da experiência realizada, era basicamente levantar os dados das características da bomba como:

Sua curvas características “Carga Manométrica X Vazão” e “Potência X Vazão” e As curvas características da família de bomba através “Ch x Cq” e “η x Q” 

Metodologia Experimental

A experiência foi conduzida seguindo os seguintes passos:

• Primeiro regula-se a válvula de controle de vazão para uma vazão arbitrária.

• Mede-se o peso inicial do compartimento (vazio)

• Permite-se a passagem de água para o compartimento. Mede-se o tempo até que a passagem de água seja interrompida, assim como o peso final do compartimento

• Mede- se os valores de pressão no manômetro e vacuômetro, e a tensão, corrente e a potência consumida pelo motor acoplado a bomba.

• Esvazia-se o compartimento, muda-se a vazão, repetindo todo o processo.

1) uma bomba centrífuga que impulsiona a  água do reservatório para a tubulação;

2) um manômetro diferencial com tomadas de pressão em duas secções distintas da placa de orifício;

3) um vacuômetro;

4) uma balança volumétrica com registro que pode ser posicionado;

5) uma válvula de três vias, que pode desviar o fluxo da água para a calha ou para a balança volumétrica, mediante um deslocamento pelo trilho horizontal;      

6) um registro para controle da vazão;

7) Amperímetro;

8) Voltímetro;
9) Wattimetro.

  Tem-se também os dados necessários para a realização da experiência:

Descrição do Aparato Experimental

Resultados Calculdos e Respostas às Questões Propostas

a) Levantar as curvas características da bomba.

            Diante dos valores obtidos nesta experiência de laboratório (corrente, tensão, potência, pressões, massas e tempo) podemos obter alguns valores como:

Também temos que:

Temos como as curvas características das bombas:

b) Levantar as curvas representativas das bombas dinamicamente semelhantes à ensaiada.

            Deve-se levantar agora, a partir dos dados experimentais e os dados obtidos no item “a)”,  as curvas “ Ch x Cq ” e “ η x Q ” sendo que:

c) A bomba que foi ensaiada com água é destinada a transportar óleo de peso específico g = 800 kgf/m3 á temperatura q = 20ºC. Traçar as curvas características que se alteram com a mudança de fluído.

  

            Podemos concluir, olhando os adimensionais envolvidos, que o único parâmetro a ser mudado nas curvas é a potência W.

            Pelo adimensional:

d) Levantar as curvas características de uma bomba ( protótipo )

dinamicamente semelhante à ensaiada ( modelo ) com DP = 1/3 DM e NP =2NM, para o mesmo fluído.

            Levando em conta a Teoria da Semelhança, deve-se levar em conta o fato dos  adimensionais permanecerem os mesmos de modo que para cada valor dos adimensionais :

Conclusões e Comentários Finais

            Através desta experiência pode-se aprender a levantar as curvas características de uma bomba, assim como as curvas características de sua “família”. Pela da teoria da semelhança também pode-se obter especificações das máquinas para condições diferentes das apresentadas no momento do teste (como massa específica, dimensões da bomba e rotação da máquina).

            Deve-se notar também que na parte experimental as variações da vazão não foram grandes de modo que as curvas características obtidas representam uma parte das curvas esperadas.   

Referências Bibliográficas

ASSY, Tufi Mamed. Mecânica dos Fluidos. volume 1. São Paulo, EPUSP, 1989.

BYDLOWSKI, Jayme Marcos et al. Guia de Laboratório de Mecânica dos Fluidos (PMC 227 e PMC 331). São Paulo, EPUSP, 1993.

CATANNI, Mauro Sergio D. Elementos de Mecânica dos Fluidos. São Paulo, Editora Blücher Ltda, 1990.

KERMODE, A C. Mechanics of Flight. 9ªedição. Londres, Editora Longman Scientific & Technical, 1990.

STREETER, Victor Lyle. Fluid Mechanics. 4ªedição. Nova Iorque, Editora McGraw-Hill, 1966.